UNIDADES Y PRESENTACION DEL PLANO

UNIDADES Y PRESENTACION DEL PLANO
Definiciones Básicas:

   1-   Una función o ampliación es una relación que asigna a cada elemento de “x” un elemento en “y”.

   2-   Grupo: Se llama grupo al conjunto de elementos para el cual está definida una operación algebraica denominada comúnmente multiplicación o adición.

  3-   Grupo Abeliano: es aquel que cumple la ley conmutativa. 
    4-   Transformación del plano: Es la aplicación biyectiva del plano sobre sí mismo.

  5- Movimiento del plano: Se denota con la letra M (Mayúscula) y es la transformación del plano que no cambia la distancia entre sus composiciones.

    6-   Propiedades M (movimiento del plano):

a-   M transforma una recta en otra recta.

b-   M transforma un semiplano con frontera a en un semiplano con frontera a´ (a prima).

c-    M guarda la relación estar “entre”.

d-   M transforma un segmento AB en segmento A´B´.

e-    M transforma un rayo en otro rayo.

f-     M transforma un ángulo en otro ángulo igual al primero.

g-    M transforma rectas perpendiculares en rectas perpendiculares.

   7-   Congruencia: Una figura L´ es congruente a una figura dada L si existe un movimiento del plano (M) que transforma L en L´ esto se denota:

L

~ =

L´

    8-   Propiedades de la congruencia:

a-   La congruencia es reflexiva, si cada figura es congruente a sí misma.

b-   Simetría: Si la figura es congruente con L´.

c-    Transitiva: Si dos figuras son congruentes a una tercera.

SIMETRIA AXIAL

SIMETRIA AXIAL :

La simetría axial es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando al cortar dicho sistema por un semiplano que contiene al eje el resultado es siempre el mismo.

Dada una recta e se llama simetría axial de eje e al movimiento que transforma a un punto P en otro punto P' verificando que:

* El segmento PP' es perpendicular a e.
* Los puntos P y P' equidistan del eje e.

Dicho de otra forma el eje e es la mediatriz del segmento PP'

La simetría axial no solo se presenta entre un objeto y su reflexión, pues muchas figuras que mediante una línea pueden partirse en dos secciones que son simétricas con respecto a la línea. Estos objetos tienen uno (o más) ejes de simetría.

La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo

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MOVIMIENTO DEL PLANO

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

 es una transformación geométrica del plano que conserva los ángulos y las distancias (la forma y el tamaño). Se distinguen tres tipos de movimientos: Traslación, giro y simetría.

1.- TRASLACIÓN

Definición: Se llama traslación T de vector libre AB a una transformación que asocia a cada punto P del plano otro punto P'=T(P) de manera que el vector PP' sea igual al vector AB.

En esta escena se muestra una traslación de vector AB. Tanto AB como el segmento PQ se pueden mover.

Un punto o una figura, es invariante por un movimiento (también se dice que es doble) , cuando se transforma en sí mismo al aplicarle dicho movimiento.

1. ¿Algún punto es invariante por una traslación?
2. ¿Existe alguna recta que sea doble en una traslación?

GIROS

Definición: Se llama giro de centro O y ángulo ß a un movimiento que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que : d(O, P) =d (O, P') y ángulo(POP') = ß

Cuando el ángulo de giro es de 180º se dice que es una simetría central de centro O.

1. Efectúa los siguientes ejercicios en tu cuaderno:
   1. Gira un rectángulo 90º respecto a un punto exterior a él
   2. Gira un rectángulo 180º respecto a un punto interior a él.
   3. Gira una circunferencia 120º respecto a su centro
   4. Gira una circunferencia 45º respecto a un punto interior distinto del centro.
   5. ¿Existe algún punto doble en un giro?
   6. ¿Existe alguna recta invariante en un giro?
   7. ¿Existe alguna recta doble de puntos dobles en un giro?
2. Una figura plana se dice que tiene un centro de giro O de orden n cuando al girarla alrededor de O, coincide consigo misma n veces, contando con la posición inicial. Investiga el orden de los centros de giro (si los tienen) de las siguientes figuras: cuadrado, rombo, hexágono regular, trapecio isósceles, cometa, triángulo rectángulo, circunferencia.

CURVAS TECNICAS

TRAZADO DE CURVAS TECNICAS

Definiciones Básicas:

Las curvas técnicas (óvalos, ovoides y espirales) están formados por arcos de circunferencia tangentes.

Ovalo:

Definición: Curva cerrada y plana, compuesta por arcos de circunferencia tangentes entre si. Tiene dos ejes de simetría perpendicular entre si. Y que se cortan en sus puntos medios.  

curvas tecnicas 

Curvas técnicas

Ovoide:

Definición: Curva cerrada y plana, compuesta por arcos de circunferencia tangentes entre si, dos arcos de igual radio y otros de radio distintos.

trazar de curvas técnicas (espiral de 2 centros )(ovoide )

Ejemplos:   

 

Espiral:

Definición : Es una curva plana, abierta , generada por un punto P, situado en el origen O de una semirrecta que se desplaza sobre ella con un movimiento longitudinal, al mismo tiempo que la semirrecta gira alrededor de O con un movimiento circular .

Ejemplos:  

SIMETRIA CENTRAL.

SIMETRIA CENTRAL

Simetría Central es cuando todas las partes tienen una parte correspondiente que está ... ... a la misma distancia del punto central ... ... pero en la dirección opuesta. Se ve igual cuando de lo mira desde direcciones opuestas, como izquierda vs. derecha, o si se lo gira al revés. Algunas veces se lo denomina Simetría de Origen

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Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'.

Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0)

Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(0,0) tiene de coordenadas:

Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.

P' = (-x, -y)

x' = -x       y' = -y

Coordenadas mediante una simetría de centro O(a, b)

Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(a ,b) tiene de coordenadas:

P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)

x' = -x + 2a

y' = -y + 2b

Composición de simetrías centrales

Con el mismo centro

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involución. Es una transformación involutiva.

Con distinto centro

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

Centro de simetría

Un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.